湖人隐患：东契奇肘伤，詹姆斯感冒，勇士或利

在湖人和火箭的比赛中，场面可谓是紧张刺激。首节比赛，湖人队得分表现低迷，仅取得了16分，这是本赛季单节最低分的记录，可见火箭队的防守实力之强大。尽管火箭队最终败北，但他们的年轻队员们展现出了顽强的斗志和出色的竞技状态，每一个球员都如同“省油的灯”一样，全力以赴。

湖人在经过艰难的角逐后终于取得了胜利，但在比赛过程中也付出了沉重的代价。尤其是在一次进攻中，东契奇与杰伦格林的身体接触，导致了东契奇摔在地板上，他的左手肘部遭受重创。赛后采访中，东契奇透露自己的手肘一直有伤病隐患，这次撞击让他感到非常疼痛。他在板凳席上用冰块冷敷，显然是受到了不小的伤害。东契奇作为湖人队的新晋球星，已经逐渐取代了詹姆斯的位置，成为了湖人队的核心力量。

同样令人担忧的还有湖人队的领袖詹姆斯。他在今天的比赛中身体状态欠佳，赛后更是被曝出感染了风寒。在更衣室接受简短采访时，他手持热茶，身边还有润喉糖、鼻腔喷雾剂和感冒药。考虑到他的年龄和伤病历史，他的每一次出场都让人倍感珍惜。即便在这样的身体状况下，他依然能在关键时刻命中罚球，并在防守端展现出飞天遁地的排球大帽般的防守表现。

湖人队的伤病问题成为了他们接下来比赛的一大隐患。除了东契奇和詹姆斯之外，小里弗斯、八村塁和海斯等球员也都有伤在身。他们的伤病情况让湖人队的季后赛前景变得并不明朗。目前他们排名西部第四，身后的灰熊、勇士、森林狼和快船等队都在虎视眈眈。下一场比赛，湖人将迎战勇士队，这是一场关键的较量。如果东契奇和詹姆斯等核心球员因伤无法出战，那么勇士队将有机会在冲击季后赛的道路上占据主动。

在这样一场关乎季后赛席位的生死较量中，湖人队必须克服伤病的影响，全力以赴。他们的每一场比赛都至关重要，每一个球员的健康和状态都将决定他们的命运。球迷们也为他们捏了一把汗，期待他们能够克服困难，顺利挺进季后赛。而无论结果如何，我们都应该尊重每一支球队的努力和拼搏精神。

（1）已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$的图象经过伸缩变换$\left\{ \begin{array}{r} x^{\prime} = 2x \\

y^{\prime} = 2y - 1 \\

\end{array} \right.$后得到曲线C的方程．求曲线C的方程．

（2）求曲线C上点$P$的横坐标为$2$的点$P$的纵坐标$y_{P}$的值．

（3）设曲线C与直线$y = m(m \neq 0)$有且只有一个公共点M．求实数$m$的值．

（4）设直线$l:y = kx + t$与曲线C相切于点$M(x_{0},y_{0})$．求证：$\frac{t}{k} = 1$．

本题考查了伸缩变换和曲线的方程求解问题，同时也涉及了切线方程的求解和直线的性质。下面是对这些问题的详细解答：

（1）根据伸缩变换的规则：

$\left\{ \begin{array}{r} x^{\prime} = 2x \\ y^{\prime} = 2y - 1 \\ \end{array} \right.$

将原函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 代入得：

$\frac{1}{2x} = \frac{y^{\prime} + 1}{2y}$

化简得： $y^{2} = x$ ，所以曲线C的方程为 $y^{2} = x$ 。

（2）由曲线C的方程 $y^{2} = x$ ，当 $x = 2$ 时，解得 $y = \pm \sqrt{2}$ ，所以点P的纵坐标为 $\pm \sqrt{2}$ 。

（3）由于直线 $y = m(m \neq 0)$ 与抛物线 $y^{2} = x$ 有且仅有一个交点M，代入得 $m^{2} = x$ ，所以 $m^{2} = y^{2}$ ，解